向量把许多特征装进一个箭头

机器怎样同时记住一个对象的许多特点？

只用一个数，可以记录体重，却记不住身高、速度和年龄。机器学习常把一个对象的多个特征按固定顺序排起来，组成向量。

• 能区分向量、分量、维数和标量
• 能计算加减、数乘和内积
• 能计算向量长度与余弦相似度
• 能解释向量为什么能用于推荐和搜索

向量既是一列数，也可以画成一支有方向的箭头

a=(3,2) 有两个分量，所以是二维向量。第一个分量表示横向走 3 格，第二个分量表示纵向走 2 格。

向量运算：对应位置和对应位置计算

只有含义相同、维数相同的向量才适合直接相加减。例如两天的运动量可以合计，但“身高向量”和“天气向量”不能因为都有两个数就硬加。

内积：对应分量相乘，再把乘积全部相加

内积把两个同维向量压成一个标量。它既能衡量方向的配合程度，也是神经元给输入特征“加权打分”的核心。

机器学习例子：神经元怎样给特征打分

如果输入特征 x=(睡眠时长, 复习时长)=(8,2)，权重 w=(0.4,1.5)，那么：

权重表示模型目前认为每个特征有多重要。内积把“每项特征 × 对应重要程度”汇总成一个分数。

向量长度：从原点走到箭头终点有多远

二维向量 a=(3,4) 形成一个直角三角形。利用勾股定理，箭头长度是 5。

余弦相似度：不比“力气大小”，只比“朝向像不像”

内积会同时受到长度和方向影响。若只想比较两份兴趣比例是否相似，就用两个长度把内积标准化。

拖动两个箭头，同时观察内积、长度与相似度

试试三个预设：同向、垂直、反向。再把一个箭头缩短但保持方向，观察余弦相似度是否改变。

从动物特征到兴趣推荐：坐标轴可以换成任何特征

例 1：体重与身高——距离适合找“整体接近”

猫 A 是 (4 千克, 30 厘米)，动物 B 是 (5 千克, 32 厘米)。它们的差向量为 (1,2)，平面距离是 √5≈2.24。这回答“两个动物在原始数值上离多远”。

例 2：三门兴趣——余弦适合找“比例相像”

按“运动、音乐、绘画”排序，学生 A、B、C 的兴趣向量如下。我们想找与 A 兴趣方向最接近的人。

向量在机器学习里到底做什么？

把一章浓缩成四张卡片

知识检测：选择后立即告诉你薄弱点

答错并不可怕。页面会指出没掌握的知识点，并把你带回对应讲解；改对后仍保留首次薄弱点，便于复习。